第二章 解决问题的策略

作为解决问题的一系列明确的或不言自明的步骤或活动，我们称之为策略。策略是解决问题有组织或有条理的方法，是从已知的条件达到问题最佳解答的求解过程。本章集中讨论为什么要用策略？学习一种我们推荐的策略，应用该策略解答一些练习题。

第一节 为什么要用策略

事实上，我们每个人都用某个策略来解决问题，但常常是处于不自觉或半自觉的状态。象学生做课外作业在探讨解法前，总是先考虑是否在过去的经验中有类似的典型解法。当我们面对一个“新”问题时，会常常自问：“我以前曾解决过这类问题吗？”

伍兹教授从1970年以来的多年经验中，采用了一个“通用(universal)”策略，要求学生按其步骤来解决问题，以便发现每步的困难所在。学生的反映怎么样呢？大家感到这个策略在整体上对他们有帮助，只是提出某步或某个提示对他们没有帮助，下面列出一些学生的评论。

1. 用一个标准的、容易理解的方法，能帮助我们克服开始面对问题的恐慌和不安，按我自己的方法逐步地解决问题。

2. 我发现这个有组织的方法同样能用于解决技术问题和理解、学习新概念，从中，我学到了用一个有逻辑次序可遵循的，有条理的形式来提出我的想法和进行工作。它帮助我看到在解决问题的过程中“我的处境”及“我将向何处努力”，并帮助我认识进行下一步工作时会遇到的障碍。

3、我着手解决问题时也有了自己的风格。首先我要花时间考虑一些看法，找到一个适合于我的方法，遵循它可以把我所考虑的有关该问题的想法落实下来。

4. 我发现能够应用解决问题的策略帮助我解决在宿舍中日常碰到的问题。

以上四条可概括出学生初步的收获：克服不安，有路可循，形成风格，推广应用。

对讲授解决问题技能做出主要贡献的一个集体是在美国加州伯克利大学物理系的拉金（Jill Larkin），赖夫（F. Reif）和布雷克特（George Breckett）小组。拉金在1977年2月于美国芝加哥召开的美国物理教师协会（Amierican Association of Physics Teachers）发表文章谈到：“我试着教学生一个简单的解决问题的‘策略’，它综合了专家们解决问题的过程。”文章中还谈到他们的试验：“为了教学生，我通过一些问题说明这个策略，而后给学生不同的物理问题让他们练习和思考”。物理课程的重要目的是能“有系统地或有条理地”（按一定的策略）解决问题。为了评价这个教法的效果，拉金对比了经过和没有经过这种训练的两部分学生，观察了他们在课程结束的大考答题的情况，并且进行了口试，初步观察了经过解决问题“策略训练”的这些学生的效果。

1. 这些学生更多地使用图形，并在进行数字计算以前先进行灵巧的代数运算，使表达式简化，思路清晰，并容易检查出错误。

2. 这些学生解题更有信心，更有计划性，并且比没有受过训练的学生的解答情况也好一些。

3. 这些学生更善于采用适合于问题的原理解题，很少走入死胡同。

策略的作用如何呢？大致可概括如下：

1. 策略是一个有组织的方法，它把整个解决问题的任务分为若干步骤，这使我们同时只面对进程中的一个部分或一阶段。

2. 策略可以帮助我们克服碰到问题的初始恐慌和不安。我们感到，当面对一个问题时，有把握下手。“平静下来…我们一个有组织的方法，一次前进一步。好，现在开始。”

3. 使用策略可以更好地弄清楚自己的偏爱，发现长处，弥补不足。

4. 对群体中有效的解决问题，要求有个共同的策略，这样便于交流。

5. 了解策略的各个不同的步骤，这会帮助我们控制思维的进程。

第二节 如何选择一个策略

现在我们认识了策略的作用，那么，我们怎样选择一个适用的策略呢？

找一个通用策略的困难在于我们要求策略满足下列条件。

1. 通用的或者说是一般的，但是又要求便于应用，不是学院式的研究。

2. 简单明瞭，容易记忆，不要太复杂。不少于三步，又不多于九步。

3。各阶段尽可能以某种方式与思维活动的类型（如分析、决策等）相关联。

4. 灵活的而不是僵死的，是以某种方式与学习过程联系起来，而不是命令或指令式的，必需机械地执行。

共同的学习和研究过程中，每个人将按同样的办法把问题分解成几个阶段，但按此步骤进行工作时，每个人又都按自己的理解进行，可以说是每个人都认为运用的是他们自己的方法、策略。整个解决问题过程应该包括认知和态度两个部分（认知：如感觉、知觉、思维、表象和想象等；态度和意向：如动机、注意、情绪、意志等）。

伍兹教授和他的同事调查分析了各种文献中提出的60种以上的策略，包括心理学家、法律工作者、音乐家、建筑师、物理学家和数学家等提出并运用的策略，发现所有这些策略非常相似。他们还曾向工程问题专家请教其解决实际工作等方面问题的策略，并且到许多工厂车间去帮助发现他们解决问题的策略。虽然他们中的每一个人有自己特殊的表达语言和解决问题的策略，适合于他们个人的生活和工作经验，但是，通过接受一个通用策略的解题训练（步骤和措施）来改进他们的技能亦是十分有益的，因为：当描述我们在解决问题过程中进展到何处时，我们需要能够交流，这就要求有共同的语言。

在本书中所提出的策略，是伍兹和他的同事根据多年来解决问题和帮助别人提高他们解决问题能力的工作实践中提出的，这个策略是通用的，或者说是一般的、普遍的，…而不只停留在个人解决某类问题的经验上。

下面介绍一些学生学习用伍兹等人的六步策略后的评论：

“开始每个教授教我们解决不同学科的问题时，我发现解决问题的思路是混乱的，但是仔细分析他们都符合这六步策略。”

“教授们讲课时，都有他们自己解决问题的方法。在化学教学中，教授将教你解决化学问题的纲要，他会说：“写下电子方程和质量平衡方程……”力学教授会说：“分析对象取自由体…”每个教授都有自己解决问题的方法，并且应用于他们自己的研究对象。所以，当我们注意到这些的时候，就会发现每个教授有自己特殊方法。学习六步策略是个很好的方法，使我们能够分辨出在一般情况下教授讲授中是在做什么，在解决问题过程中他进展到何处？”

第三节 五步策略

著名的《怎样解题》一书中有一张“怎样解题”表，这张表的手稿原件仍挂在瑞士联邦理工学院数学研究所参考书室里，其中提出了四步策略：

1. 弄清问题 (Define)

2. 拟定计划 (Plan)

3. 实现计划 (Do it)

4. 回顾 (Look Back)

学生做题自觉不自觉的至少可分为两步：看题及做题。好一点的学生大致可分为三步：看题、做题、检查。如果在弄清题意以后，先考虑题目该如何下手，然后才去做，这就接近波利亚提出的四步，可谓相当好的学生了。波利亚在“怎样解题”中按他所提出的四步指出学生在学习中容易发生的毛病有：

1. 学生由于思想不集中，常造成对问题理解不完整，这大概是解题中最为常见的毛病，或者说是“通病”。

2. 做题没有任何计划或总体的想法，便匆忙进入具体的计算和作图；另外一些学生则呆头呆脑地干等着某个念头的降临，而不知该如何加速其来到。

3. 粗枝大叶，不耐心检查每一步。

4. 根本不检查结果的情况屡见不鲜，学生乐于得到一个答案后丢下笔就结束了，对于最靠不住的答案他们也满不在乎。

伍兹请了一些熟练的解决问题者用波利亚四步策略来做，这些人却在波利亚的第一、二步之间加了一步，即他们在弄清问题以后，并不急于拟定计划，而是在解决问题的全貌或整体上思考，看看有些什么途径能解决。有时将问题作某些简单的假设，把问题简化求解，看看这问题的各个方面，富勒（Fuller）描写这个活动为“探索找寻解决此问题的途径”，里夫（Reif）说是“提炼”，克罗（Croue）谓之对问题的“沉思”。这些都鼓励了伍兹教授及其同事把波利亚的第一步分解为两步：弄清问题及探索思考，后来又加上态度成分，使整个策略成为：

1. 决定要做 (I Want to and I can)

2. 弄清问题 (Define)

3. 探索思考 (Explore)

4. 拟定计划 (Plan)

5. 实施执行 (Do it)

6. 回顾总结 (Look Back)

对不同行业总结出的解决问题的策略，参见本章附录，在这里就不多费笔墨。

我们认为伍兹六步策略的第一步是对波利亚四步策略的一个改进，体现出强调意志和情感（态度）因素的作用。虽然面对问题时是否有决心和信心下手极为重要，但是在解决问题的全过程中是贯彻始终（参见图2-12），同时，也有一些问题由于条件不具备暂时不能解决的情况，故我们删去了第一步，而推荐五步策略，下面分别简单介绍各步或各阶段的含意。

表 2-1 五步策略

4. 实现计划。

5. 回顾总结。分析结果。 校核结果的合理性及是否满足题目所给的准则，用记忆中的经验因素来判断结果的正确性及意义。 探索解决问题的技能及现在能推广到哪些其他类型的问题。 补充，交流等。

第一步 弄清问题

弄清问题也可以说是弄清题意。问题的文字表述说的是什么？我们弄懂了每一个字了吗？这时思维活动主要是进行分析。其目的就是弄懂向我们提出问题的含意。这是一个简单的活动，比较好学。通过这步也可使解题者的情绪平静下来，帮助克服开始的不安与恐慌，达到有信心的心理状态。

第二步 探索思考

这一步是在波利亚四步法基础上，1970年伍兹及其同事才认识到需要增加的，对它的研究较少。这一阶段围绕问题的表述，联系到我们背景知识去真正地发现实际问题所在，区分问题表述中反映出的什么是重要的、什么是次要的。在这阶段中，我们并不是要得到解答，而是寻求重要的联系，探索解决问题的可能途径，把创造、分析、概括和简化的各种思维活动组合起来，所以这个活动是复杂的，不同的人差别很大。可以有多种解决的途径，而“弄清问题”这一步，则仅仅是分析的技能，对所有问题解决者都是大体相同的。

第三步 拟定计划

在探索思考阶段弄清了我们将要做的工作的概貌和我们真正要解决的问题。我们能开始区分出“子”问题或要采取的步骤。通常我们是在探索阶段中得到的3～4种不同的途径中选择一个来拟定计划。

第四步 实现计划

要仔细、准确和经常检查我们工作的进程。

第五步 回顾总结

这一阶段对提高解决问题的能力有极大的潜力，它包括两个方面：

校核和总结运用技能的特色

校核和探索解决问题的蕴涵（言外之意）。

实际上可以认为，在整个解决问题的过程中，回顾总结是历经艰辛到了收获的阶段，像农业播种、耕耘，辛辛苦苦干了一年，到了收获季节一样。假如丢掉了这一步，岂不是只种不收吗？如果认真回顾总结，正如同农业丰收一样，会得到具体的成果及心理上极大的满足。

第四节 实例

本节共举出不同类型的四个例题：

【例一】 主题：功率及摩擦

例题：一个吊车在20秒钟内把5000kg质量的重物举高12m（见图2-1）。已知机器马达的功率为90kW，试确定此机器的效率。（伍兹，1985）

某个典型的解答：

弄清问题

要求：计算这台机器的效率

图2-1

计算：要求大约10分钟内作出此题。

准则：指出怎样计算效率并注意单位。已知功率的定义。

自己作，我已了解此基本原理，如果尚有不清楚之处则需要再学习。

作图：作草图示意。

已知：举起高度h=12m。 上升的时间 $\mathrm{\Delta }t=20s$ 。 重物质量M=5000kg 表现出实际完成的功 马达功率90kW是可用的功率。

定义原理：功率的定义及效率的定义：

$$\text{ 功率 }=\frac{\text{ 所完成的功 }}{\text{ 用的时间 }}=\frac{\text{ 力 }\times \text{ 距离 }}{\text{ 时间 }}=\text{ 力 }\times \text{ 速度 }$$$$\text{ 效率 }\eta =\frac{\text{ 输出功率 }}{\text{ 输入功率 }}$$

或能量守恒 $\to$ 输入功率 $=$ 输出功率 $+$ 损耗

其他概念：力、质量、单位（kW，m，s，kg质量）及上述功率及效率。

探索思考

• 检查矢量或单位的一致情况:

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \mathbf{P}=\frac{\mathbf{F}\times \mathbf{h}}{\mathrm{\Delta }t}\end{array}$$$$\eta =\frac{P_0}{P_i}$$

(2) 其中 $P_0=$ 输出功率 $P_i=$ 输入功率

以上皆为标量，力必需是作用在h方向上的。

单位：给出方程，代以单位的符号，即

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \eta =\frac{\mathrm{Fh}}{\mathrm{\Delta }t}\times \frac{1}{{\mathrm{P}}_i}(\text{ 无 量 纲 量 })\end{array}$$

单位符号式：

$$\eta :\frac{\mathrm{kg}\times \mathrm{m}}{\sec }\times \frac{1}{\text{ 功率单位 }}=\text{ 无量纲 }$$$$(\text{ 功率单位 }=\frac{\mathrm{kg}\times \mathrm{m}}{\sec })$$

*具体化：

$\eta >1$ 是不可能的

$\eta \approx 50\mathrm{\%}$ ，从我们的经验估计，最低效率可能 $\approx 15\mathrm{\%}$ 。

假设：不必知道滑轮情况，也不必知道实物的结构。

如果在10分钟解此问题，不包括上述具体结构完全可以解决问题。当然时间更充分些，可以结合不同结构物来讨论分析。71页的图表称为结构矩阵。左端第一列写出联系这些量间关系的方程，每个方程与哪些量有关，就在该方程的一行上用记号√在该量下面标出。由图中可知，需要再列式（4）找出F与m的关系： $F=ma$ (4)

	要求的量	已知量
变量	\eta	M	h	\Delta t	\rho_i	\rho	F
式(3)	√		√	√	√		√
式(2)	√				√	√
式(4)		√					√

• 问题：又引出了个新变量a。由于要知道重物升高所完成的功，才考虑F。功也可从重物势能的变化得到，这样避开力F，直接用质量m即可得效率的公式：

$$\eta =\frac{\mathrm{mgh}}{\mathrm{\Delta }t}\times \frac{1}{P_i}$$

拟定计划 探索思考阶段已提出了计算步骤。

实现计划 把数值代入上面的公式可得：

$$\begin{array}{rl}\eta =\frac{\mathrm{mgh}}{{\mathrm{P}}_i\mathrm{\Delta }t}& =\frac{5000\mathrm{Kg}\times 9.80{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\times 12\mathrm{m}}{90\mathrm{kW}\times 20\mathrm{s}}\\ & =\frac{29.4}{90\mathrm{kW}}\cdot \times 10^3{\mathrm{kgm}/\mathrm{s}}^2\times \mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

单位换算：功率单位W（瓦）与质量、长度、时间的关系为

$$\begin{array}{l}1\mathrm{W}=1\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s}\\ 1\mathrm{N}=1\mathrm{kgm}/{\mathrm{s}}^2\end{array}\}1\mathrm{W}=1\mathrm{kgm}/{\mathrm{s}}^2\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s}$$$$\therefore \eta =\frac{29.4\mathrm{kW}}{90\mathrm{kW}}\approx 33\mathrm{\%}(\text{效率})$$

回顾总结 33% 是低的效率，但是合理的，如果得300%显然不对，而3%又太小了。

回顾做题过程：

时间：超过10分钟，主要是把功陷入力×距离引出了力与质量的关系等绕了弯。如果一开始就从势能考虑，会省很多时间。

比较：势能及力×距离两个途径。

本题只考虑总的效果，并不必牵扯到提升的细节，用与过程无关的势能概念好一些。如果要讨论提升的细致过程，则从势能考虑就不够了。

问题的推广或扩展：

• 如果同样的事发生在月亮上将如何？其他条件全同。

解：月亮上的重力加速度小，比地球上要省力省功。其计算式仍是：

$$\eta =\frac{\mathrm{mgh}}{\mathrm{\Delta }t}\times \frac{1}{P_{\mathrm{i}}}$$

功率的变化直接与“g”有关，此处需要知道月亮上的g月（ $\ll$ g地）

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{P}}_{\mathrm{i}}& =(\underbrace{\frac{\mathrm{mh}}{\eta {\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{t}}}}){\mathrm{g}}_{\text{月}},\text{显然}{\mathbf{P}}_{\mathrm{i}}<90\mathrm{kW}\\ & \text{常数}\end{array}$$

• 如果90kW马达安置于船上，从海底拉起5000kg的重物，当 $\eta =33\mathrm{\%}$ , $P_i=90kW$ 时，拉起重物12m需要多长时间？

解：由于有水的浮力，时间比20秒要短，计算公式仍可用。

(未考虑水的阻力)

$$\mathrm{\Delta }t=\left(\frac{\mathrm{mh}}{\eta {\mathrm{P}}_i}\right)\mathbf{g}$$

但此处的净“g”，需要知道水的密度。

• 讨论大家熟悉的建筑物中的电梯：

什么是最大载荷？

两层楼的间距如何？

每一层楼上升多少时间？

假设 $\eta \approx 40\mathrm{\%}$ ，单台电梯的功率如何估计？

*马达升降系统效率为30~40%，功率是怎么“损失”掉的？怎么样能提高效率？

直接驱动换成有平衡重发生什么变化？

用平衡重的例子：

分析瑞士的一种提升机（图2-2），它有两个容器经山上的滑轮联接，其中之一装满水上升，另一个空容器下降。需要马达的功率是否比单独一个容器提升要小一些？

图2-2

*90kW相当于多少马力?

$90\mathrm{kW}$ 的电机尺寸大约多大？

120马力的汽车发动机比同样马力的电机尺寸大还是小？

• 讨论一个新问题（见图2-3）：

图2-3

质量为M的重物通过滑轮拉上斜面，用功率为 $P_i$ 的马达，在 $\mathrm{\Delta }t$ 时间间隔内提升垂直距离h

是否与前一个问题相同？它的困难何在？（假设略去斜面及滑车的摩擦力）。

• 新问题（图2-4）:

图2-4

功率 $P_i$ 的马达质量为m，背在人背上，当喷气发动机发动后，在 $\mathrm{\Delta }t$ 秒内升高h，马达和人的总质量为M，这与第一个问题相同吗？

• 新问题（图2-5）:

图2-5

质量M的车沿水平路面行驶， $\mathrm{\Delta }t$ 秒走了l，发动机功率为 $P_i$ 是否与第一个问题相同？

• 新问题（图2-6）:

图2-6

3吨车在水平路面行驶速度为 $30\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ，要保持此车速爬坡（图3-6坡度1：20）时，需要增大功率的百分比是多少？

下面再举两个心理学研究的典型问题，并对问题进行了多方面的分析，通过这类本身并没有多大重要性的问题，积累解决问题的知识，便于去解决更重要的实际问题，我们综合了西蒙(H. A. Simon)的解法，请读者思考，并可用五步策略来分析它们。

【例二】 主题：解密码算术题

例题：密码题中，上、中、下三行各是一个人名： DONALD（唐纳德）

• GERALD（杰拉德） ROBERT（罗伯特）

已知： $\mathbf{D}=5$

任务要求：

（1）用0至9这十个数字代替字母，不同的字母用不同的数字代替。

（2）字母换成数字后，下面一行数字答案必须等于这一行与第二行之和。

下面把此题几种解法综述如下，请注意它们的思路：

本题是十个英文字母和十个数字的配对，故有总计 $10!=3$ ，628， $800\approx 3\times {10}^6$ 种可能的方式，我们已知一个线索 $D=5$ ，则各种可能尝试的次数减为 $9!=362$ ， $800\approx 3\times {10}^5$ ，虽然减少了十倍，但解决起来仍比较困难。

第一种解决的方法是：每个数字任意给一个英文字母配对进行运算，当发生矛盾时，就将数字与字母之间的对应关系重新安排、重新计算。如指定O=0，N=1，A=2，…D=5，直到T=9，但计算 $5+5=10$ 而不是 $9(=T)$ 时，就知道错了。这时需要重新配对再计算。用这种随机尝试的方法需要大约 $3\times {10}^6$ 次才能得到正确答案。这是“无遗漏的系统搜索方式”。

第二种方法，是系统地从右向左，利用已得到的解来继续计算。下面是简化的搜索树，每一分支伸展到发现矛盾时为止，再改变搜索途径，如此继续。

D = 5, T = 0, L = 1, R = 3, G < 0 (矛盾)
    L = 2, R = 5, （与 D = 5 重，矛盾）
    L = 3, R = 7, A = 1, E = 2 (矛盾)
    A = 4, E = 8 (矛盾)
    A = 6, E = 2 (矛盾)
    A = 8, E = 6 (矛盾)
    A = 9, E = 8 (矛盾)
D = 5, T = 0, L = 4, R = 9, A = 1, E = 2 (矛盾)
    A = 2, E = 4 (矛盾)
    A = 3, E = 6 (矛盾)
    A = 6, E = 2 (矛盾)
    A = 7, E = 4 (矛盾)
    A = 8, E = 6 (矛盾)
    L = 6, R = 3, G < 0 (矛盾)
    L = 7, R = 5 (与 D = 5 重，矛盾)
    L = 8, R = 7, A = 1, E = 3 (矛盾)
    A = 3, E = 7 (与 R = 7 重，矛盾)
    A = 4, E = 9, N = 1, B = 8 (与
    L = 8 重，矛盾)
    N = 2, B = 9
    （与 E = 9 重，矛盾）
    N = 3, B = 0
    （与 T = 0 重，矛盾）
    N = 6, B = 3, O = 2,
    G = 1

最后得到的结果是：D=5, T=0, L=8, R=7, A=4, E=9, N=6, B=3, O=2, G=1。

上面是简化的表示，主要是用一个数代替E后出现矛盾而终

止的每一个分支，还应该再分一次。

这一种与无遗漏的系统搜索方式（第一种方法）稍有不同，但这两种方法都是反复试验，经过许多组合才得到正确结论，都是先假设再检验的方法（称假设-检验方法），都不是有效的方法。

第三种方法是改变盲目的搜索,采取“选择性搜索”。所谓选择性是指发现某个配对所含的矛盾加以选择。意指,作一个配对后,将被代替的字母所在列都检验一下。如果可能,对于每一个这样的列,都将一个尚未配对的字母当作未知数求解,然后检查答案,看看求出的这个数字是不是尚未配对的,如果不是,则有矛盾。

“选择性搜索”是解决密码算术题的有效方法，又称“启发式搜索”（heuristic search），它是先找出可能性最少的一列，也就是限制最多的那一列。例如，从右侧开始：

第一列： $\mathbf{T}=\mathbf{D}+\mathbf{D}$ ， $\mathbf{D}=5$ ，所以 $\mathbf{T}=0$ ，同时进一位。

第二列： $R=2L+1$ （进位），根据奇偶数的知识，两个L相加必为偶数，再加上进位的1，R必为奇数。因为已知 D = 5，所以R可能是1、3、7或9。从上面的分析中可看出，R可能为7或9。

第三列：没有更多的信息，A和E均为未知数。

第五列：有最大的限制。因为 $0+\mathrm{E}=0$ ，所以E只可能是0或9。

已知T=0，所以E=9。

将式中所有的E都换成9，再回到第三列。

第三列： $A+A=0$ ， $A+A$ 应是偶数，而9是奇数，这说明第二

列必须进一位，可得出A=4。在第二列已知R可能是7或9，

既然E=9,所以R=7。

第二列： $2L+1=17$ ，故L = 8。

第六列： $D+G=R$ ，即 $5+G+(\text{进位})1=7$ ，故G = 1。

现在只剩下三个字母O、N、B和三个数2、3、6，随便试一下就可以得出 $N=ϵ,B=3,O=2$ 。最后的结果是

526485 +197485 723970

在解决这个问题时，只利用6个可能性，而不是用30多万次尝试，由此可见，由于采取了这几条主要的思路，就可以排除大量的尝试，达到解决问题的目的。

解决密码算术题的三条原则是：

1. 把每个字母都配上一个数字；如把T=0代之。

2. 每选一列进行运算时，要树立一个目标；并利用过去的算术理论得出结论；如 $2L+1$ 是奇数。

3. 把已知数字代进字母，并找到限制最大的那一列进行运算。如果这一步解决了，再找另一列限制最大的进行运算。即简化问题先易后难、各个击破。

以上三种不同的方法，搜索了走出问题迷宫的解决路径。在某种意义上说，方法越复杂，需要的搜索越少，迁移到其他类型的问题的可能性也较少。但重要的是要注意到，一旦选定了方法，搜索路线就仅仅取决于问题结构，而不取决于解题者的任何特征。

【例三】 主题：“河内塔”问题。

例题：桌子上A处放有从小到大的五本书如图2-7(a)所示，你的目标是把书从A处拿到C处，如图2-7(b)所示的情况。每次只能拿一本书，且不能把大书放在小书上面，怎么办？(B处可以暂时存放一些书)。

我们不只是关心问题的解决结果，而且关心解决问题的方法。此题的几种解法综合如下：

第一种方法：为了叙述方便，我们把这五本从小到大摞起来的书叫做“金字塔”（k），记为PYR(k)。任务是将这五本书从A挪到C（图(b)）。我们可以这样做：

首先，移动较小的那四本书到B；

图2-7

然后再把最大的那本书移到C；

最后把B的小本书移到C，放在最大的书上面。

这样我们只需考虑三个步骤。我们把所有的书（k本）由A移到C所采用的策略是：

首先将去掉最大的一本书（k）后所留下的 $PYR(k-1)$ 由A移到B；

然后将k由A移到C;

再将 $PYR(k-1)$ 由B移到C:

TO MOVE PYR (k) FROM A TO C TO MOVE PYR(k-1) FROM A TO B TO MOVE k FROM A TO C TO MOVE PYR(k-1) FROM B TO C

这不是合法的解决问题的方法，因为规则要求我们一次只能移动一本书。为了遵守规则，必须一本一本地将 $\mathrm{PYR}(k-1)$ 从A移到B。我们仍可采用上述的方法，只不过是要一步步地移动。

要把 $\mathrm{PYR}(k-1)$ 由A移到B，我们可以把 $\mathrm{PYR}(k-2)$ 由A移到C，再把k-1(这里k-1=4，即4本书中最大的一本)由A移到

B，然后再把 $PYR(k-2)$ 由C移到B。

这时只需考虑移动三本书的问题了。为了把 $\mathrm{PYR}(k-2)=\mathrm{PYR}(3)$ 由A移到C，只要到PYR(2)由A移到B，再把3由A移到C，然后把PYR(2)由B移到C。

要把PYR(2)由A移到B，只要把PYR(1)=1由A移到C，再把2由A移到B，再把1由C移到B。这样，每一步我们都采用相同的策略。

或者说，为解决移动五本书的问题，我们先解决移动四本书的问题；为解决移动四本书的问题先解决移动三本书的问题；为解决移动三本书的问题先解决移动两本书的问题；为解决移动两本书的问题先解决移动一本书的问题。如果我们把第k本书由A移到B的动作记为M，（k．A．B），整个解决问题的过程如下：

M (1. A. C);	M (2. A. B);	M (1. C. B) ;
M (3. A. C);	M (1. B. A);	M (2. B. C) ;
M (1. A. C);	M (4. A. B);	M (1. C. B) ;
M (2. C. A) ;	M (1. B. A);	M (3. C. B) ;
M (1. A. C);	M (2. A. B);	M (1. C. B) ;
M (5. A. C);	M (1. B. A);	M (2. B. C) ;
M (1. A. C);	M (3. B. A);	M (1. C. B) ;
M (2. C. A);	M (1. B. A);	M (4. B. C) ;
M (1. A. C);	M (2. A. B);	M (1. C. B) ;
M (3. A. C);	M (1. B. A);	M (2. B. C) ;
M (1. A. C);

这种策略不必用眼睛看具体的东西，只是把内部目标记在脑子里，就可以一步步循环，最后解决问题。这种策略使短时记忆(见第四章)负担相当重，因为我们必须在记忆里保持最终的目的是什么，下一步应该移动什么，现在走到哪一步了等等。如果采用计算机，可以很容易写出计算机的程序。这种策略称为“目标递归策略”(Goal Recursion Strategy)。

第二种方法称“知觉策略”(Perceptual Strategy)，它依赖于外界刺激，是刺激指向的策略。我们的目的是将最大的一本书移到目标位置上，在进行这种策略的操作时，脑子不必记住目标在哪里、下一步应该移动什么，因为我们可以用眼睛看到这一切。假如刺激改变了，视觉可以告诉我们情景与目标的关系。在这个策略里，我们的目标始终是把下一本没有在C上的最大的书移到C：

$$\text{ GOAL: }\text{ NEXT LARGEST TO C }$$

假如我们所处的情境是：1、2、4这三本书在位置B上，3、5这两本书在目标C上(见图2-8)。现在的目标是把4移到位置C上。按照规则，由于两个原因，我们不能直接把4移到C；

图2-8

第一，4上面压着两本书，我们一次只能移动一本书；

第二，目标位置C处，5的上面有比4小的3，我们不能把较大的4压在较小的3上面。

怎么办?应该先移走2还是3?当然,如果要移走2,还要先移走1。最好的方法是建立一个目标一移开最大的障碍:

$$\text{ GOAL: }\text{ REMOVE LARGEST BLOCKADER }$$

因为最大的障碍是第3本书，因此我们应先移走3。假如1和2在5的上面，3在4的上面，根据目标我们还是先移走3。因为3是起阻碍作用的最大的一本。当我们把3从C移到A以后，还是不能直接把4移到C，因为1和2在4的上面，这时2是最大的障碍，所以现在的目标是移走2。但是1在2上面，我们不能马上移走2，这时1又成了最大的障碍。于是，我们的新目标是移走1。实际的作法是：

M (3. C. A) ; M (1. B. C) ; M (2. B. A) ; M (1. C. A) ; M (4. B. C) 。

在操作过程中如果有另外一件事情吸引了我们的注意，那么，在注意完这件事后，我们可以再回过来注意河内塔任务。我们随时都知道目标在哪里，因为我们采用的是知觉策略，可以用眼睛看见目标。如果我们用第一种方法记住内部目标的内部指导策略，当外面的刺激分散我们的注意后，就不知道目标在哪里，就很难想起下面该走哪一步了。另外，我们还必须明确解决课题的规则，否则在操作时就会发生混乱。

第三种方法称模式策略 (Patterin Strategy): 这也是一种内部指向的策略，这个策略没有目标的问题。在解决问题的过程中只有几种可能的动作：

1. 最小的一本书总可以向任何方向移动；

2. 可以把没有被最小的书挡住的次小的书移到另一个地方。

因为，为了合法地解决问题，我们就要采用与可能的动作相适应的规则。这些规则是：

（1）在我们移动最小的一本书以后，下一步不要把这本书挪回到原来的位置上。即我们可以按A→B、B→C、C→A、A→B…的顺序，或按A→C、C→B、B→A、A→C…的顺序来移动最小的一本书。

（2）另一条规则是：在奇数次移动时，总是移动最小的那本书；而偶数次移动时，则总是移动除最小的那本书以外的书，但实际上这时能够合法移动的书只有一本，合法的动作也只有一种。例如，为了移动第五本书，如果我们是按A→C→B→A…的顺序移动最小的一本书的话，那么第一步我们则把最小的一本书由A移到C，而第二步则只能把2由A移到B，第三步将1由C移到B，而第四步则只能将3由A移到C。此后是将1由B移到A，将2由B移到C…。照这样下去，我们就能把五本书都合法地移到C。这个移动过程的顺序可以编成一个押韵的简谱：

1213 | 1214 | 1213 | 1215 | 1213 | 1214 | 1213 | 121

（3）还有一条解决河内塔问题的通用规则：当河内塔的书的总数为奇数时，第一本书，也就是最小的那本书，要按A→C→B→A→C→B→A…的顺序移动；当书的总数为偶数时，第一本书则要按A→B→C→A→B→C→A…的顺序移动。只要按照上面的模式，不用记住目标和步骤就可解决任何数目的河内塔问题。

第四个方法是“机械记忆策略”(Rote Memory Strategy): 这种方法是把做对的一系列步骤死记硬背下来。解决上述河内塔问题总共只有31步，我们可以努力把所有的移动步骤背下来。但是，我们虽然背会了，也只会解决五本书的问题，而不能解决四本书或六本书的问题。而目标递归法和知觉策略可以解决任何册数的书的问题。采用模式策略，也可以推广到书的总数多一些或少一些的情况。例如，在四本书的情况下，只要取上面模式中1213|1214|1213|121这部分即可。在总数为六本书的情况下，只要在前面讲的模式后面加上6，然后再把6前面的模式重复一遍即可，读者可试做一下。人们学会曲调模式要比死记硬背容易得多，原因在于记曲调模式的组块要比机械记忆的组块少得多。

我们用四种策略教不同的人去解决同一个河内塔问题，都能做对。这四种策略有以下的差别。

1. 学习时间长短不同，前三种学习方法 要比第四种方法用的时间短。

2. 对记忆的要求也不一样，如果不让被试者看河内塔，也不给他纸和笔画河内塔，而让他用目标递归方法解决只有少数圆盘(三、四个)的河内塔问题，他是能够解决的。但是，圆盘的数量再多时，就比较困难了。因为用这种方法解决问题时，要在头脑中记住总目标和分目标，并注意解决的进程。在这里，问题的难度与对象的数量按线性增长。在知觉策略中，不论有多少圆盘，只要记住长久目标和移动最大的障碍，最后都可以达到问题的解决。模式策略中，短时记忆不需要记住任何东西，只要把简谱曲调记在长时记忆中，就可以解决问题。第四种策略则要把所有的信息都保持在长时记忆中。

3. 回忆是学会一种方法后，经过一段时间再把它复述出来。在记忆中，具有某种图式的内容容易被记住。前三种策略有一定的图式或模式，因而较第四种方法容易记住。

4. 迁移，就是用已学到的方法解决类似的新问题的能力，前两种策略可以用于解决圆盘数更多或更少的河内塔问题。第三种策略稍加修改也容易迁移到新的情境中。第四种策略是不容易迁移的。因此，当我们在教学生某一门课程时，应教给学生最好的策略，使学生学习的时间最短，不给短时记忆造成太大负担，可以长期保持，同时又容易迁移到新的情境中。

以上的分析，是想让学生知道，用不同的方法会得出不同的结果。我们不仅要教会学生怎样解决问题，而且要教他们使用较好的方法解决问题。因为即使使用机械的学习方法的学生，也可以学会解决问题，但是如果他以后总是用这种方法学习，这对于保存知识和把知识运用到新的情境中去是不利的。

下面是本节的最后一个例子，它是较实用的问题，但是只介绍作为解决问题的实验的一些情况。读完此例后，也请读者用五步策略来分析，看此例进行了那几步。

【例四】 主题：用放射线治疗肿瘤问题

例题：假定一个人的胃里面生了一个不能手术的肿瘤。我们知道，如果应用某种放射线，只要有足够的强度，肿瘤是可以破坏的。问题在于：这样强烈的放射线怎么能够应用到肿瘤上，同时又不会破坏围绕这个肿瘤四周的健康组织？

图2-9

图 2-9 是身体横断面的图解。肿瘤在中间，放射器具在左侧，带着箭头的线表明射线经过的路线。

请读者思考，你怎么着手去解决它？

这个问题是邓克尔(K. Duncker)于1945年对柏林大学的学生所作的关于解决问题的经典研究。邓克尔要求他的被试者在解决问题时边想边说出声，下面是实验记录，(摘自Duncker K. On Problem Solving. Psychological Monographs, 1945, 58.)

记录：

1. 发送射线穿过食道。

2. 注射化学药剂使健康组织不感光。

3. 用手术使肿瘤曝光。

4. 应当减轻射线在中途的强度，这作为一种办法能行得通吗？在射线到达肿瘤时再充分加强辐射能。

5. 吞咽某种无机物（能不让射线穿过）以保护健康的胃壁。

(实验者：要保护的不只是胃壁。)

6. 或者射线必须进入躯体，或者肿瘤必须取出来。或许人们能改变肿瘤的位置，但怎么改变？通过压力？不行。

7. 用一根插管。

(实验者：当你不论用什么手段想在一个特定位置造成一种效果而又想在达到这个位置的途中避免产生这种效果时，你大体上做些什么？)

8.（回答：）使效应在途中无效。但这正是我一直想做到的。

9. 使肿瘤移向外表。(比较6.) (实验者重复提出问题,并强调,“……那要有足够的强度才能摧毁”)

10. 强度应该是可以变的。(比较4)

11. 用以前射线的微弱放射使健康组织产生适应性。

(实验者：怎么能使射线仅仅摧毁肿瘤灶呢？)

12.（回答：）我看只有两种可能性：或者保护躯体，或者使射线无害。

(实验者：怎么才能减轻射线在途中的强度呢？)(比较4.)

13.（回答：）有几种办法……使光线漫射……弥散开……有了！发出一片宽而弱的光束以一种方式穿过透镜，使肿瘤处于焦点从而受到强烈辐射。

邓克尔按照被试者反应所显示的各个阶段对原始记录做出分析。首先是发现“某一解决方法的一般的或基本的性质”。用上述的记录作为一个例子说，当被试者开始思考有关的课题时，他提出通过食道发送射线，使健康组织不感光，或降低射线在到达肿瘤途中的强度。这些解决方法没有一项是可行的，但它们显示对课题的一般把握和按照一定目标所确定的方向重新制定课题。

当被试者受到劝告，知道自己前几项的一般建议不可行时，他继续提出一些解决方案，这些方案虽然还不着边际，却更趋向于对问题的解决而不是改变课题提法。这些解决，邓克尔归并在具有“功能价值”的解决的大题目下。从功能解决中，被试者提出特定的解决办法，其中一项是可以采纳的，即用一种透镜使射线聚焦（这种想法仅仅在原理上说得通。举例来说，在医学实践中，可以使来自不同方向的弱射线焦中肿瘤，或者使患者转动身躯尽量减少健康组织的暴露并增强癌组织的照射。）

上面的分析，是从多次观察概括出来的描述。并非每一个解决问题的人都要经过一般的范围、功能解决和特殊解决这样三个阶段。如果回顾一下相当数量的被试者，那么，几乎每一种可以想象的对这一条规则的例外都可以找得到。而邓克尔的被试者试图解决问题时进行思考的简略图解却为解决问题过程提供了一个有效模式。下面就是简图

图 2-10 一个被试者在解决邓克尔治癌问题时

尝试解决方法谱系图

第五节 应用策略的几个特点

通过以上四节内容及实例分析,我们可以得到应用策略的5个特点。

1. 对于不同类型的问题，发生困难的阶段可能不同；

2. 各步之间相互影响而不是截然分离；

3. 可能在解决同一个问题时多次反复使用同一策略，如用逐次近似法(参阅绪论内容);

4. 应用策略需要用许多思维技能；

5. 应该继续观察解决问题的进程，不断总结。

下面逐条说明：

一、问题的类型

这个一般的策略能用于解决任何类型的问题，对于不同类型的问题，仅仅发生这样的现象，即遇到的困难是在不同的阶段，表2-2中作了一些对比。所以，虽然有了可用于解决各种问题的策略，但在应用时，具体侧重于何处可能有所不同。例如，疑难类型的问题，我们发现动力是最难的，或者说想不想去解决它是个大问题；在日常的问题中，确定具体的问题和成功的标准常常是更难的，即，在日常工作及生活中，提出问题和完成的标准常常比较困难。

二、各阶段之间的相互影响

许多人误认为依照一个策略来解决问题，在完成了一步以后，就不用再重复这一步了。而事实上我们常常要回头想想，在解决问题的过程中，由于产生了某些新的想法或者忽然“卡壳”的时候，就需要重复已经经过的某一步。例如，我们在第三步采用脑风暴（见第三章）使我们的思想可能离题较远，有经验的问题解决者在思维发散之后常常回到重新明确问题的第二步上。策略的用处不应像一个刚硬笔直的套管来控制我们抛出的石子。

三、需要用简单的问题进行练习

有时你会想：“这个问题太简单，它是很平常的，不需要什么策略。”但是我们学习如何用这个策略时，在“简单”的问题上做练习最容易进行，并不因为问题是简单的或复杂的而改变应用策略的过程。用策略来解决问题要花费你的时间，你要通过解决一些简单的问题不仅得到正确解答，而更要注意解决问题的策略，逐渐使自己变成熟练的解决问题的人。

表 2-2 通用策略的注意中心不同

问题类型策略\注意中心	习题	教科书的理解性问题	教科书的应用问题	教科书的分析问题	教科书的综合问题	疑难问题和侦探小说
决定要作	动力可能成问题					动力
弄清问题		画恰当的图		识别问题的要求情境的具体化	识别问题的要求和准则
探索思考			与基础知识的联系	简化问题	构思用逐次近似办法	辨认约束
拟定计划						不同的想法新观点
实现计划
回顾总结	校核可能的遗漏	判断校核扩展到其他问题解决问题方面学到什么?	判断		改进交流坚持到底

习题：沥青 $m^8$ 价650元。我要铺3.8m宽、10m长、8cm厚的路面，需要多少元？

你的解

应用于习题

弄清问题

探索思考

拟定计划

实现计划

回顾总结

作完本题的体会如何？发现了什么？最难完成的是什么？容易做的是什么？

下面列出一种解答的详细情况，请参考。

你的解

目标：沥青的

弄清问题

价钱

已知：650元/m³

欲铺设的几何尺寸见图2-11。

限制：题目叙

应用于习题

图2-11

述中没提隐含手算或计算器算<30分钟。
准则：题目叙述中没提隐含合理的误差±1%。
探索思考
以前见过类似的问题
原理：立方体的体积计算
所有量必须用同一单位，长度统一用m折算
体积V=长l+宽w×深d
价c
拟定计划
沥青价
=价(元/m³)×体积(m³)=价(元)
lwd=V
实现计划
体积V=10m×3.8m×0.08m=Vm³
价C=650元/m³×V
=650元/m³×(10×3.8×0.08)m²=1976元
回顾总结
校核：正确
合理性：价钱随每立方米的单价而变化
进一步思考：①实现时可能有耗损，计划应有余量。
②8cm厚的路面完全由沥青铺成吗？
③诸如人工等费用如何计算。
④其它因素的作用对费用的影响。

四、使用策略时要注意发挥思维技能的优势

关于使用策略的一个误解是：成为一个好的问题解决者的全部就是应用策略。因为在学校里教师给学生“策略”，并且说“这就使你可以有效地解决问题。”但是从绪论图2解决问题的某些组成成分可见，还需要许多技能，策略是有效地解决问题的必要而非充分的条件。

从本章第一节提到的心理过程划分为两大部分来看，解决问题的过程包含了认知及态度两种成分。图2-12的中间一列表示五步策略，同时在左边及右边，在策略的各阶段都注明了有关进入该阶段的思考(认知)成分和态度成分。图中表明：

图 2-12 解决问题的五步策略及认知与态度成分

1. 在不同阶段需要不同的技能；

2. 在应用策略时，同样的技能不止在一个阶段处使用。例如，三、四两个阶段都要用到分析。

3. 思考和态度成分都是必需的，注意图2-12的文字说明。

五、关于使用策略的小结

1. 简化问题。开始先找一个非常简单的近似解，仅能对问题得到一些想法。在任何问题情境中多次使用策略。

2. 如果你要求重新看整个问题完成的情况，你可以常常回到弄清问题阶段。事实上，在解决问题时，弄清问题或者说是把问题提清楚是件不容易的事，必将反复明确问题，也就是常常回到弄清问题阶段。

3. 用更多的时间处于探索思考阶段很重要，不要误认为都是在实现阶段花的时间。

4. 在你进入一个新阶段前先检查前一步的情况。

5. 用笔、纸、计算器等辅助工器帮你保持思路清晰和思维活跃。

6. 当你和别人共同工作时，有可能大家共同完成的阶段是：弄清问题；实现计划和回顾总结。但是在探索思考，有时包括拟定计划阶段每个人都不同，应该发挥各个人的特长和风格。

7. 最激动人心的或者是最富有创造性的是在探索思考及回顾总结这两个阶段，特别不要漏掉回顾总结阶段，这最后的一步是经过艰苦的思考之后的收获阶段。

8. 要有耐心，仅仅知道各阶段的名称还不能保证你能很好地解决问题。

第六节 熟悉策略的练习活动

本节的目的是帮助你：

1. 熟悉五步策略和它一般的应用。

2. 通过解决一些问题，使你看到自己在工作中是怎样进行的。

3. 介绍一些使用策略的情况。

图2-13 (B)使用策略的阶段与每阶段花费的时间

明确问题
探索思考
拟定计划
实施计划
回顾总结	花费时间→ 10分 20分

明确问题
探索思考
拟定计划
实施计划
回顾总结	花费时间→ 10分 20分

图 2-14 使用策略的阶段与每阶段花费的时间

图2-13(a) 表明某人用了大约3分钟阅读问题的表述，而制定计划只用了1分钟，最后用12分钟计算。图2-13(b) 表示另一人，他对同样的问题，只用很短的时间阅读题目，而花费大量的时间在探索思考。

表 2-3 比较初学者和熟练者的管理技能

初学者	熟练者
不估计自己计划采取行动的可能效果(“我想要计算面积;”但绝不问“知道了面积会对我有什么帮助?”)	估计每个计划采取行动的可能效果(“我想要计算这面积,看看如果我知道面积会对我有什么帮助?”)
选取表的形式或分类名称,但是不去自觉的估计它们的可能(“也许我能计算;也许我能变化目标的形态。”于是着手变化目标形态,把计算丢在一边)	自觉的估计每一个选择的可能性(“也许我能用计算,它将为我做什么......”)
当完成部分任务不成功时,放弃它并着手做另一些事	当完成部分任务不成功时,问“从中我学到了什么?”
也许没有明显的理由就放弃了一个有意义的活动。(“让我放下数字计算,试试几何分析”)	不断地估计所有活动
在没有估计或分析的情况下,不断完成一系列激烈的跳跃式的行动	完成的步骤表现出不断地估计和尽可能的简化
在头几分钟的探索中,似乎并未能全面了解问题,想到什么可能就着手做不监控、不估计,或不管理自己的思维过程	通过开始定性的探索,全面了解所提出的问题,保持选择的可能继续监控、估计和管理所有的思维过程,而且清晰的显示这个过程大约每1~2分钟一次继续注意怎样使问题解决的思维过程简化、易懂估计困难的程度,解子问题有什么帮助以及计划的有效性把各阶段间的转变作为思维过程中关键的决定

图2-14是一张记录纸，读者自己可以试着记录自己在解决问题过程中使用策略的情况。

第七节 摘要

策略是作为某些人解决问题的一系列明确的或含蓄的（不言明的）步骤或活动。虽然我们有很多理由说明为什么策略是有用的，但主要理由是它可以减轻我们的紧张情绪和我们需要它帮助分解解决问题的活动以及监控我们的进程，在附录中列出许多种策略，我们介绍了六步策略，虽然我们每个人最终将创造和应用我们自己的策略，但是我们介绍并应用这一共同的策略便于交流而且也促进了交流。

图2-15 使用策略的阶段与每阶段花费的时间

熟练解决问题者解数学问题的情况

图 2-16 使用策略的阶段与每阶段花费的时间

练习

1. 解本章中所提出的习题

2. 表2-5集中了一些解决问题的策略，试与五步策略相比较。

附录：几种解决问题的策略

介绍一些人提倡的不同的解决问题的策略，由于篇幅所限，这里只能选择几种做简要概括的介绍。

1. 自学过程的PAM(Programme of Action and Methods for Systematic Problem Solving)图解:

第一阶段

明确目标或问题的阶段： 第二阶段

解决问题，趋向既定目标的工作阶段：

第三阶段

完成既定任务或解决问题后总结经验，提高能力阶段：

确定问题或学习欲达到的目标

收集与该问题或目标有关的信息材料

对信息材料进行选择、分类 ↓ 对信息材料进行综合、消化， 与问题或目标相关联

对问题的解答进行优选；对工作目标进行检查、考核

总结在解决问题或学习过程中有益的经验

第四阶段

信息增殖或新思想孕育阶段_完成原定目标，在此基础上提出新的问题或目标

在上面的分析中，第一阶段相当于“弄清问题”阶段，第二阶段相当于“探索思考”及“拟定计划”阶段，第三阶段相当于“实现计划”及“回顾总结”阶段，前三个阶段实际上已完成了解决问题或学习的过程，到第四阶段又进入了新的问题，需要我们去学习解决。

2. 科学方法

(1) 辨识一般(广泛)的问题

…a. 以前的研究证实了什么假设？

b. 什么问题至今尚未解决？

(2) 确定具体的问题，提出研究课题的假设

a. 什么是未知因素？

b. 估计成果是什么?

c. 收集有关的资料。

(3) 用可控的验证实验检验所提出的假设

a. 认识假设所依据的设想。

b. 辨认希望或可能的结果。

(4) 设计为考查和证实假设的实验程序

a. 辨明作用量(可控的和不可控的)。

b. 认明观察资料的收集标准(具体的条件).

c. 认识所用的实验程序设想及限制。

(5) 进行实验检验的重复考验

a. 具体条件下的重复方法。

b. 系统地记录从重复考验中观察到的资料。

(6) 分析资料

a. 选适当的表格填写总结资料。

b. 应用适当的统计检验证实“偶然事件”的影响。

c. 画示所分析的资料以识别各部分的关系。

(7) 关于假设的有效性以概率的形式用公式表示所得的结果

(8) 估计研究结果推广或扩展的可能性

a. 这个结果是否支持其他研究者的一些假设？

b. 这个研究能提出什么进一步的问题？

上面的前三项相当于“弄清问题”及“探索思考”阶段，第四项相当于“拟定计划”。而第五项相当于“实现计划”，最后三项相当于“回顾总结”。

3. 适用于研究发明、开发、设计、创造和操作的R．L，贝利六步法。

(1) 问题调研

为最初的问题情境确定最好的问题定义。要回答：基本需要是什么？基本问题是什么？有解决的价值吗？我们应当解决它吗？

(2) 设定目标

为成功地解决问题规定必要的约束条件(在可接受的限度内).

要做的事有；详细考虑对一个可以接受的解法有何要求(而不是所要确定的解法本身)；消除解决问题初期常有的模糊观念和疑虑；提出衡量以后工作的参照标准，即如果达到了目标，问题就解决了；在需要签订合同的场合，合法地规定所要取得的成果。（在这种场合，这个阶段的结果就是“技术说明书”）

(3) 确定手段

确定使解题者基本满意的解决问题的最佳手段。这里主要是提出系统、装置和工艺等等新方案。

(4) 解法最优化

从用户的角度使提出的具体解法最优化，要解决需要优化的具体解法；需要优化的指标(选定的参数)；最终的用户。

(5) 制作与验证

为我们提出的新设想做出实际模型，表明设想已变为现实；利用模型获取事实资料。

表 2-4 几种解决问题策略的粗略比较

波利亚	伍兹	心理学	斯默尔	布鲁姆和布瑞尔	华莱士	普里高律	奥斯本
弄清问题	弄清问题探索思考	提出问题明确问题	观察/了解性质提出假设	弄清问题的性质弄清问题中的观点	准备沉思	剖析提问博采思索	发现问题寻找事实
拟定计划	拟定计划	提出假设	设计试验	使用的方法(或程序)	启示	立案	提出设想寻找构思
实现计划	实现计划		阐明资料			求解	解决问题寻找解答
回顾	回顾总结	检验假设	是否假设被证实	对解答的看法	查核证实	运用

(6) 说服他人

使“他人”接受和实际应用我们的新创造。

以上六步与伍兹教授的后面五步有类似之处，读者可自行对比分析。

以上三种策略及表上列出的八种策略是关于研究、开发、实验、设计制造等几个不同行业总结出的解决问题的策略。为了便于比较，在表中把大体相应的阶段按排在大体同一水平的位置，只要粗略地了解各阶段的涵义，就可以发现这些从不同方面总结出的策略有许多共同之处，或者说可以找到普遍适用的策略。

从以上三种策略及表上列出的八种策略也可以看出，认识、掌握或适用一般的或通用的策略，解决不同类型的问题有待具体化，更何况对于不同的人，其具体应用的特点自然更不会雷同。